Комплексные числа

Попробуем решить кубическое уравнение X³ = KX + B. С точки зрения геометрии мы ищем точку пересечения кубической функции Y = X³ и прямой Y = KH + B.

Какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение. Найти решение можно воспользовавшись формулой Кардано:

Корень квадратный из отрицательного числа. Что это? Т.е. должно существовать такое число, возведя которое в квадрат получается отрицательное число. Судя по графику, оно существует.

А давайте допустим, что такое число существует, и его можно как обычное число складывать, умножать и т.п.

Решение по формуле Кардано получается таким  . И если его подставить в исходное уравнение, то получается равенство. Что является правильным ответом, который элементарно проверяется прямой подстановкой.

Этот подход заставил задуматься о расширении понятия чисел и введение нового понятия – комплексные числа.

Все обычные числа ложатся на числовую ось. А если ввести две оси и рассмотреть плоскость. Первая ось ох будет осью действительных чисел. Что тогда будет считаться второй осью. Первым математиком, назвавшим  мнимым числом i, был Эйлер. В этом случае i² = -1. Отложим по оси оу мнимые числа 

С мнимыми числами, так же, как и с обычными, можно выполнять все операции, складывать, вычитать, умножать, делить и т. п.

Комплексное число можно представить как где а и b действительные числа.

В качестве геометрической интерпретации комплексного числа является точка на плоскости, где числа a и b будут координатами данной точки. Ось ох называют действительной осью Rе, а ось oy называют мнимой Im.

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем разложить их в ряд Тейлора в окрестности нуля.

Если взять функцию e^ix и разложить ее, учитывая i² = -1 то получим

или e^ix = cos⁡ x+i sin⁡ x

для единичной окружности имеем

можно представить формулу в геометрическом виде. Учитывая, что комплексное число - это точка на комплексной плоскости, которую можно задать, проведя радиус вектор из начала координат до этой точки. Радиус вектор имеет длину и угол поворота относительно оси ох. Тогда в общем виде 

причем φ определено в I и IV четверти комплексной плоскости.

В этих четвертях  имеет либо положительный, либо отрицательный знак. Т.к. для II и III четверти это отношение тоже принимает положительный или отрицательный знак. Так для III получается . Возникает неопределенность. Ее можно разрешить, прибавляя к ;

Существует много учебников ТФКП, где полностью изложена вся информация о комплексных числах и функциях. Эта статья не претендует на полноту вопроса, просто излагает некоторые начальные очень важные положения.