Комплексные числа

Попробуем решить кубическое уравнение X3 = KX + B. С точки зрения геометрии мы ищем точку пересечения кубической функции Y = X3 и прямой Y = KH + B.

Кубическая функция

Какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение. Найти решение можно воспользовавшись формулой Кардано:

Формула

Формула

Корень квадратный из отрицательного числа. Что это? Т.е. должно существовать такое число, возведя которое в квадрат получается отрицательное число. Судя по графику, оно существует.

А давайте допустим, что такое число существует, и его можно как обычное число складывать, умножать и т.п.

Формула

Решение по формуле Кардано получается таким  Формула. И если его подставить в исходное уравнение, то получается равенство. Что является правильным ответом, который элементарно проверяется прямой подстановкой.

Этот подход заставил задуматься о расширении понятия чисел и введение нового понятия – комплексные числа.

Все обычные числа ложатся на числовую ось. А если ввести две оси и рассмотреть плоскость. Первая ось ох будет осью действительных чисел. Что тогда будет считаться второй осью. Первым математиком, назвавшим Формула мнимым числом i, был Эйлер. В этом случае i2 = -1. Отложим по оси оу мнимые числа Формула

С мнимыми числами, так же как и с обычными, можно выполнять все операции, складывать, вычитать, умножать, делить и т.п .

Комплексное число можно представить как где а и b действительные числа.

В качестве геометрической интерпретации комплексного числа является точка на плоскости, где числа a и b будут координатами данной точки. Ось ох называют действительной осью Rе, а ось oy называют мнимой Im.

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем разложить их в ряд Тейлора в окрестности нуля Тогда получим.

если взять функцию eix и разложить ее, учитывая i2 = -1 то получим

Формула

или eix = cos⁡ x+i sin⁡ x

для единичной окружности имеем

Радиус

можно представить формулу в геометрическом виде. Учитывая, что комплексное число это точка на комплексной плоскости, которую можно задать проведя радиус вектор из начала координат до этой точки. Радиус вектор имеет длину и угол поворота относительно оси ох. Тогда в общем виде 

График

Формула

причем φ определено в I и IV четверти комплексной плоскости.

График

В этих четвертях Формула имеет либо положительный, либо отрицательный знак. Т.к. для II и III четверти это отношение тоже принимает положительный или отрицательный знак. Так для III получается Формула. Возникает неопределенность. Ее можно разрешить прибавляя к Формула;

Формула

Существует много учебников ТФКП, где полностью изложена вся информация о комплексных числах и функциях. Эта статья не претендует на полноту вопроса, просто излагает некоторые начальные очень важные положения.

Дата публикации: 19.01.2021