Скалярное произведение и разложение в ряд Фурье

Начнем с определений.

Вектор – это направленный отрезок. Конечно, это определение не полное, но для обсуждения темы его достаточно.

Ба́зис - упорядоченный набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Для трехмерного пространства базис состоит из 3х векторов, для плоскости из 2х.

Здесь - базис в 2х мерном пространстве, и любой вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов .

Вектора, образующие ортонормированный базис, перпендикулярны друг другу, и имеют длину равную 1. Как определить тот факт, что один вектор перпендикулярен другому? Рассмотрим понятие скалярного произведения векторов.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число, не зависящее от выбора системы координат. Эта операция позволяет ввести на векторных пространствах понятия длины векторов и угла между ними.

Итак, скалярное произведение — это число. Рассмотрим общеизвестный пример из физики. Работа, которую совершает тело под действием силы F, приводит к перемещению тела на расстояние s.

Что видно из данной формулы. Во-первых, произведение двух векторов — это число. Во- вторых, важную роль играет угол  α  между этими векторами. При α = 0 совершаемая работа максимальна, а при  А=0. Те работа А содержит информацию о взаимном расположении векторов F и S. Конечно, работа связана с изменением энергии тела, но сейчас интересна информация о взаимном положении векторов, их похожести.

Рассмотрим другой пример. Воздушный шар имеет три датчика: датчик давления P; датчик температуры T; датчик освещенности I. Шар поднимается на высоту 10 км и каждые 100 метров датчики производят измерения.

Это  измерений. Имеем три функции P(h);T(h);I(h); где h – высота. Каждая из этих функций принимает 100 значений. Давайте представим каждую из этих функций как вектор в пространстве, имеющем 100 измерений. И далее оценим похожесть векторов друг на друга. Вектора, имеющие между собой наименьший угол, похожи. Представить пространство 100 измерений невозможно, поэтому возьмем всего 2 измерения и рассмотреть операции на плоскости, что несложно представить.

P = (p₁, p₂); T = (t₁, t₂); I = (I₁, I₂)

Давление P и температура Т с ростом высоты h ведут себя приблизительно одинаково: они уменьшаются, а интенсивность света I возрастает. Давайте допустим, что вектора P и T со направлены, так как ведут себя одинаково и отличаются только величиной, а вектор I перпендикулярен им.

Величины  есть абсолютная длина векторов P; T; I. Или, как еще называют, норма этих векторов.

Тогда похожесть (сила связи) векторов P и I это расстояние между этими векторами.

Для векторов P и T расстояние 

Мы видим, что расстояния между векторами равны, но в случае Т и Р связь сильнее, так как они со направлены, лежат на одной прямой.

Т. е. если судить о похожести и связи векторов, оценки расстояния между ними мало. Важен также угол между векторами.

Так вот, скалярным произведением векторов a и b называется

Как видно при  принимает максимальное значение, а при 

Вывод: По величине угла между векторами можно судить о похожести, силе связи, корреляции двух векторов.

Скалярное произведение векторов: выраженное через их координаты, выглядит следующим образом.

Кстати, для 100 мерного вектора таких слагаемых 100.

Теперь вспомним, что такое ортонормированный базис. Это взаимно перпендикулярные вектора с нормой или длиной равной 1. Для 2х мерного пространства это два вектора.

Появился множитель . Он нужен чтобы нормировать абсолютное значение вектора P относительно количества измерений. Если взять 2 измерения и 1000 измерений, то значения Р будут разные без этого множителя, так как сумма 1000 слагаемых больше суммы 2х. А это неправильно.

Похожее соотношение и для скалярного произведения

И для разложения вектора по ортонормальным базисам.

А что будет если устремим количество измерений к бесконечности . Получается функция, определенная на отрезке и принимающая бесконечно много значений. По аналогии с конечным числом измерений (число которых может быть очень большим), мы можем записать также, только сумма превратится в интеграл.

Например, для абсолютного значения давления, где H – высота, на которую поднимается шар.

Возникает вопрос: существует ли система ортонормированных функций, по которым можно разложить данную функцию P или I. Подобно тому, как мы раскладывали вектор P по системе ортонормированного базиса векторов в N-мерном пространстве.

Рассмотрим систему функций

Проверим

То условие нормировки, те равенства 1 нормы выполняется.

Как будет выглядеть разложение произвольной функции по системе ортонормированных функций. Достаточно ли функций sin?

Дело в том, что функция sin нечетная, и чтобы покрыть все функции, необходима еще и четная функция в разложении. Это функция cos. Вышесказанное справедливо для функции cos тк ее можно выразить через sin.

Это разложение произвольной функции по системе ортогональных базисных функций sin и cos и называется разложением в ряд Фурье, а коэффициенты а₀, a_n, b_n получили название коэффициентов ряда Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье — это замена сложной функции суммой простых синусов и косинусов с коэффициентами разложения. Сравнивая функции, достаточно сравнивать коэффициенты разложений. Приложений масса от радиоэлектроники до квантовой механики.